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K-THEORIE TOPOLOGIQUE ET APPLICATIONS

Du 21 au 27 février 2015, Institut de Recherche de Mathématique Avancée, Strasbourg

La K-théorie topologique à été introduite en géométrie algébrique par Grothendieck, et en topologie algébrique par Atiyah et Hirzebruch au début des années 1960. De nos jours il en existe de nombreuses variantes, comme la K-théorie algébrique et ses versions motiviques, la K-théorie équivariante, la K-théorie réelle d’Atiyah, et plus récemment la K-théorie tordue, avec ses applications en théorie quantique des champs.
La K-théorie topologique est une théorie de cohomologie généralisée qui admet une description géométrique en termes de fibrés vectoriels, avec extension en une théorie de cohomologie périodique grâce à la périodicité de Bott. Son origine géométrique mène à une puissante théorie d’opérations cohomologiques, dont les opérations d’Adams. Cette théorie a permis la résolution de problèmes géométriques profonds, telle la solution par Adams du célèbre problème des champs de vecteurs sur une sphère. De même, la nature géométrique de la K-théorie ouvre la voie à des applications en analyse, comme le renommé théorème d’indice d’Atiyah-Singer. En topologie algébrique, la partie de la théorie d’homotopie stable détectée par la K-théorie correspond, en langage moderne, aux phénomènes de type chromatique 1 ; l’étude des types chromatiques supérieurs, sujet central de la théorie d’homotopie stable moderne, généralise ce premier cas. De plus, la relation entre les fibrés sur C et sur R et l’action induite sur la K-théorie topologique par la conjugaison complexe est prototypique : quelques unes des avancées récentes (comme la résolution du
problème de Kervaire) sont basées sur des généralisations de cette théorie.

Cours principaux. (Du lundi 23 février au vendredi 27 février)

Christian Ausoni (Professeur - Université Paris 13)

Geoffrey Powell (Directeur de Recherche au CNRS - Université d’Angers)

Les cours principaux seront complétés par des séances d’exercices. Des cours introductifs seront organisés avant les cours principaux le samedi 21 février et seront dispensés par Hans-Werner Henn et Christine Vespa. Les cours seront complétés par des exposés de recherche.

Informations

Les cours s’adresseront en priorité aux étudiants de Master (M1 et M2).
Des subventions seront disponibles en nombre limité.
Pour les étudiants de Master, ces subventions couvriront les frais d’hébergement et une partie des frais de transport.
Pour les étudiants en thèse, ces subventions couvriront uniquement l’hébergement.
Le Labex IRMIA ne peut malheureusement pas subventionner les post-doctorants et chercheurs confirmés.
Pour pouvoir bénéficier des subventions du Labex, il est recommandé de s’inscrire rapidement.
Pour les inscriptions et tout complément d’information, veuillez contacter par courriel Christine Vespa à l’adresse suivante : vespa@math.unistra.fr

Cours introductifs (Samedi 21 février)

Ces cours couvriront les notions de topologie algébrique prérequises, en particulier la cohomologie singulière et son cup-produit, l’adjonction entre la suspension et l’espace de lacets, les fibrations, les groupes d’homotopie instables, et les rudiments de l’homotopie stable (Théorème de Freudenthal).

Cours principaux (Du lundi 23 février au vendredi 27 février)

La première partie du cours a pour objectif la construction de la K-théorie orthogonale KO et de la K-théorie unitaire KU comme théories de cohomologie généralisées, en introduisant les fibrés vectoriels, les espaces classifiants qui interviennent et le théorème de périodicité de Bott. Les opérations d’Adams seront construites à l’aide de la structure d’anneau provenant du produit extérieur des fibrés vectoriels. La relation avec la cohomologie singulière sera expliquée en introduisant le caractère de Chern et, éventuellement, la suite spectrale d’Atiyah-Hirzebruch.
Dans la deuxième partie du cours, la théorie sera illustrée par des exemples (nous envisageons de présenter le lien entre les représentations d’un groupe G et la K-théorie du classifiant BG, établi par Atiyah et Segal) et par des applications de la K-théorie topologique, dont la résolution du problème de l’invariant de Hopf par Adams et Atiyah.
L’objectif principal sera l’étude de l’image du J-homomorphisme Im(J), un facteur des groupes d’homotopie stable des sphères, qui est détectée en K-théorie à l’aide de l’e-invariant.

Pour de plus amples informations, veuillez consulter la page dédiée à ces Master-Class se trouvant ici.